CLASE 1: MODELADO DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

COMPETENCIAS A DESARROLLAR

Realizar modelos de Programación Lineal en aplicaciones de producción, inversiones, procesos de planeación de procesos para la toma de decisiones.

CONTENIDO

1. LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 

La Investigación de Operaciones es una ciencia gerencial, enfocada hacia la toma de decisiones, que se basa en el método científico para resolver problemas. Consiste en una serie de herramientas cuantitativas para la modelación matemática y solución de problemas  de carácter gubernamental, de producción, de servicios, gremiales ó cooperativos.

En la aplicación de la investigación de operaciones se aplican los siguientes seis pasos metodológicos científicos:

1. Análisis y formulación del problema.

2. Desarrollo del modelo.

3. Selección de datos de entrada.

4. Obtención de una solución.

5. Limitaciones del modelo y la solución.

6. Utilización del modelo.

En esta guía de aprendizaje trabajaremos la construcción de modelos matemáticos, enmarcada en el paso 1 Análisis y  formulación de un problema

Los modelos matemáticos consisten en la representación de un problema mediante un sistema de expresiones matemáticas, que al desarrollarlo permite realizar inferencias sobre la situación real que permitan, a través de esos resultados numéricos, tomar decisiones sobre las variables que interactúan en el modelo.

MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Un Modelo de Programación Lineal es un modelo matemático en el cual todos sus componentes: variables de decisión, restricciones o limitantes y Función Objetivo; presentan relaciones lineales,

Esta linealidad del modelo es importante en la medida que es mucho más fácil de resolver puesto que el Álgebra Lineal brinda procesos algorítmicos para su solución.

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La Formulación del Modelo de Programación Lineal tiene las siguientes etapas

a) Definir claramente las variables de decisión  y expresarlas simbólicamente, estas son aquellas sobre las que podemos tomar decisiones en el problema y están bajo nuestro control, se reconocen porque son las incógnitas que deben ser determinadas a partir de la solución del modelo.

b) Definir claramente la Función Objetivo: es la formulación matemática lineal de una meta establecida en el problema, que no es más que Optimizar (Minimizar o Maximizar) y por lo tanto su valor final mide la efectividad lograda.

c) Definir claramente las restricciones y expresarlas matemáticamente como funciones lineales. Estas representan a través de igualdades o desigualdades las limitantes que presentan recursos, condiciones o requerimientos establecidos en el problema.

EJEMPLOS  DE APLICACIÓN EN UN PROBLEMA DE PRODUCCIÓN:

EJEMPLO 1.

Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender todo lo que produzca obteniendo las siguients utilidades: A, $ 8000  cada unidad; B, $ 3500; C, $ 7.000. Producir cada unidad de A necesita 1 hora de trabajo, 2 horas de acabado y 3 unidades de materia prima. Producir una unidad de B necesita 2 horas de trabajo, 3 horas de acabado y 2.5 unidades de materia prima. Producir una unidad de C necesita 3 horas de trabajo, 1 hora de acabado y 4 unidades de materia prima. Para este período de planificación están disponibles 100 horas de trabajo, 200 horas de acabado y 600 unidades de materia prima

Construir un modelo de programación lineal para establecer cuantos productos de cada tipo hay que fabricar y vender con el fin de optimizar su utilidad

Paso 1º: Leer detenidamente el enunciado: determinar el objetivo, definir las variables de decisión, que es lo que pregunta específicamente el problema.
VARIABLES DE DECISIÓN:

Paso 2º: Determinar la función objetivo: es lo que se pretende optimizar, se simboliza Z.

FUNCIÓN OBJETIVO:

ESTABLECER LAS RESTRICCIONES AL PROBLEMA.

Paso 3º: Reordenar los datos del problema y a partir de las cantidades decididas, X1 y X2, escribir el sistema de inecuaciones que determinan las restricciones. poner cuidadosa atención en si la restricción es un requerimiento de la forma ≥ (mayor ó igual que, al menos, por lo menos, como mínimo), una limitación de la forma ≤ (menor ó igual que, no mayor que, como máximo), ó = (igual a, exactamente igual a).

Paso 4°: ESTABLECER LAS RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD.

Nota: Es muy importante  comprobar si las unidades de las expresiones son consistentes. Por ejemplo, si los coeficientes de una función objetivo están dados por libras, las variables de decisión que aparezcan en la función objetivo deben resultar en libras, no en toneladas ni onzas. De manera análoga, compruebe que para cada restricción las unidades del lado derecho son las mismas que las del lado izquierdo. Por ejemplo, si una de las restricciones es una limitante en horas de trabajo, el lado derecho debe ser también en horas de trabajo.





EJEMPLO 2. Una compañía fabrica y vende dos modelos de lámpara L₁ y L₂. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L₁ y de 30 minutos para el L₂; y un trabajo de máquina de 15 minutos para L₁ y de 10 minutos para L₂. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. La 
producción está limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al día más de 400 de  L_{1 ,}  ni menos de 300 de L₂., ni más de 500 en total. Sabiendo que el beneficio por unidad es de $15000 y $10000 para L₁ y L₂, respectivamente, planificar la producción determinando cuantas lámparas deben fabricarse para obtener el máximo beneficio.

VARIABLES DE DECISIÓN:

FUNCIÓN OBJETIVO:

ESTABLECER LAS RESTRICCIONES AL PROBLEMA.

ESTABLECER LAS RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD.

EJEMPLO 3: Una compañía de fabricación de muebles ha de determinar cuántas mesas, sillas, pupitres y librerías debe hacer para optimizar el uso de sus recursos. Estos productos utilizan dos tipos diferentes de paneles, y la compañía dispone de 1500 tableros de un tipo A y 1000 de otro tipo B. Por otro lado cuenta con 800 horas de mano de obra. Las predicciones de venta así como los pedidos atrasados exigen la fabricación de al menos 40 mesas, 130 sillas, 30 pupitres y como máximo 10 librerías. Cada mesa, silla, pupitre y librería necesita 5, 1, 9, y 12 tableros, respectivamente, del tipo A y 2, 3, 4, y 1 tableros del tipo B. Una mesa requiere 3 horas de trabajo; una silla, 2; un pupitre, 5; y una librería 10. La compañía obtiene un beneficio de 12 dólares en cada mesa, 5 dólares en cada silla, 15 dólares en un pupitre, y 10 dólares en una librería. Plantee el modelo de programación lineal para maximizar los beneficios totales.

VARIABLES DE DECISIÓN:

FUNCIÓN OBJETIVO:

ESTABLECER LAS RESTRICCIONES AL PROBLEMA.

ESTABLECER LAS RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD.

EJEMPLO 4: Una empresa fabrica dos modelos de fundas de sofá, A y B, que al venderse dejan unos beneficios de $140000 y $200000  respectivamente. Para cada funda del modelo A se precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar una del modelo B se requieren 3 horas de trabajo y 5 unidades de tela. La empresa dispone de 48 horas de trabajo y 60 unidades de tela. Si por condiciones de la maquinaria a lo sumo pueden hacerse 9 fundas de cada modelo  ¿Cuántas fundas de cada modelo han de fabricarse para obtener el máximo beneficio y cual sería este? 

EJEMPLO 5: Un artesano fabrica y vende cuadros tejidos, de los cuales tiene tres tipos: el pequeño, el mediano y el grande. El primero requiere medio metro cuadrado de triplex, 200 metros de estambre y 85 clavos; el segundo necesita 0.75  metros cuadrados de triplex, 300 metros de estambre y 100 clavos; el tercero utiliza 1  metro cuadrados de triplex, 400 metros de estambre y 125 clavos. Cada mes se cuenta con 25 hojas de triplex, 68 rollos de estambre de 500 metros cada uno y 12.500 clavos. El cuadro pequeño requiere de 3 horas, el mediano de 5 horas y el grande de 6 horas para su elaboración. Mensualmente se dispone de 530 horas para la fabricación de los cuadros. La experiencia que se tiene de las ventas muestra que mínimo se venden 5 cuadros grandes,  10 medianos y 6  pequeños. El margen de utilidad para los cuadros pequeños, medianos y grandes son $22000, $35000 y $45000 respectivamente, ¿Cuántos cuadros de cada tipo deben hacerse para que la utilidad sea máxima?

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